在数学分析中，函数的孤立奇点是一个非常重要的概念。当我们讨论函数 \( f(z) = \frac{1}{\sin z} \) 时，其孤立奇点的探讨显得尤为关键。

首先，我们需要理解什么是孤立奇点。一个函数 \( f(z) \) 在某一点 \( z_0 \) 处称为孤立奇点，如果 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 的某个去心邻域内没有定义，但 \( z_0 \) 是孤立的，即在 \( z_0 \) 的某个小区域内没有其他奇点。

对于函数 \( f(z) = \frac{1}{\sin z} \)，我们发现 \( \sin z \) 在某些特定点处为零，这些点就是 \( f(z) \) 的奇点。具体来说，当 \( \sin z = 0 \) 时，即 \( z = n\pi \) （其中 \( n \) 为整数），函数 \( f(z) \) 无意义，因此 \( z = n\pi \) 就是 \( f(z) \) 的奇点。

接下来，我们需要判断这些奇点是否是孤立的。通过观察可以得知，这些奇点 \( z = n\pi \) 在复平面上是孤立的，因为它们之间存在一定的间隔，并且在每个奇点周围都存在一个不包含其他奇点的小区域。因此，这些奇点 \( z = n\pi \) 都是孤立奇点。

进一步分析，我们可以将这些孤立奇点分为两类：可去奇点和本质奇点。对于 \( f(z) = \frac{1}{\sin z} \)，由于 \( \sin z \) 在这些点处的泰勒展开式中存在无穷多个非零项，所以这些孤立奇点实际上都是本质奇点。

综上所述，函数 \( f(z) = \frac{1}{\sin z} \) 的孤立奇点是所有 \( z = n\pi \) （其中 \( n \) 为整数），并且这些奇点都是本质奇点。这一结论不仅有助于我们更好地理解函数的性质，也为后续的数学分析提供了重要的理论基础。