在数学分析中，曲面与曲面之间的交线问题常常引发许多有趣的几何挑战。本文将探讨一个具体的数学问题：求曲面 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 被柱面 $ z^2 = 2x $ 割下的部分的面积。
首先，我们需要明确两个曲面的方程及其几何意义。曲面 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 是一个锥面，其顶点位于原点，并且沿 $ z $-轴对称展开。而柱面 $ z^2 = 2x $ 则是一个抛物柱面，其截面为抛物线，沿着 $ x $-轴延伸。
接下来，我们通过联立方程来确定这两个曲面的交线。将 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 代入 $ z^2 = 2x $，得到：
$$
(\sqrt{x^2 + y^2})^2 = 2x \implies x^2 + y^2 = 2x.
$$
整理后可得：
$$
(x - 1)^2 + y^2 = 1.
$$
这表示交线是一个圆，圆心位于 $ (1, 0) $，半径为 1。
为了计算被割下的部分的面积，我们需要考虑曲面 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在该圆区域上的投影。由于曲面的对称性，我们可以利用极坐标变换简化计算。令 $ x = r\cos\theta $，$ y = r\sin\theta $，则 $ z = r $。曲面的面积元素为：
$$
dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy.
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}.
$$
因此：
$$
dS = \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}} \, dx \, dy = \sqrt{2} \, dx \, dy.
$$
在极坐标下，积分区域为 $ (x - 1)^2 + y^2 \leq 1 $，即 $ r $ 的范围为 $ [0, 2\cos\theta] $，$\theta$ 的范围为 $ [-\pi/2, \pi/2] $。于是，面积为：
$$
A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{2\cos\theta} \sqrt{2} \cdot r \, dr \, d\theta.
$$
计算内积分：
$$
\int_0^{2\cos\theta} r \, dr = \left[\frac{r^2}{2}\right]_0^{2\cos\theta} = 2\cos^2\theta.
$$
外积分变为：
$$
A = \sqrt{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\cos^2\theta \, d\theta = 2\sqrt{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta.
$$
利用三角恒等式 $ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $，有：
$$
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{\pi}{2}.
$$
最终结果为：
$$
A = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \sqrt{2}\pi.
$$
因此，曲面 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 被柱面 $ z^2 = 2x $ 割下的部分的面积为 $ \boxed{\sqrt{2}\pi} $。
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