在物理学中，光的折射现象是光线从一种介质进入另一种介质时发生方向改变的现象。这种现象可以用斯涅尔定律（Snell's Law）来描述，该定律表明入射角和折射角的正弦值之比是一个常数。

假设光线从空气（介质1）进入玻璃（介质2），我们可以使用费马原理来进行推导。费马原理指出，光线总是沿着所需时间最短的路径传播。

1. 定义变量

- 设光线在空气中行进的距离为 \(d_1\)，在玻璃中的距离为 \(d_2\)。

- 空气中的速度为 \(v_1\)，玻璃中的速度为 \(v_2\)。

- 入射角为 \(\theta_1\)，折射角为 \(\theta_2\)。

根据几何关系，有：

\[ d_1 = \frac{x}{\cos \theta_1} \]

\[ d_2 = \frac{y}{\cos \theta_2} \]

其中，\(x\) 和 \(y\) 是光线在两个介质中的水平投影长度。

2. 时间表达式

光线传播的时间 \(T\) 可以表示为：

\[ T = \frac{d_1}{v_1} + \frac{d_2}{v_2} \]

代入 \(d_1\) 和 \(d_2\) 的表达式：

\[ T = \frac{x}{v_1 \cos \theta_1} + \frac{y}{v_2 \cos \theta_2} \]

3. 应用费马原理

为了使光线沿最短时间路径传播，我们需要对 \(T\) 关于 \(\theta_1\) 求导并令其等于零：

\[ \frac{\partial T}{\partial \theta_1} = 0 \]

经过一系列数学推导（这里省略详细步骤），最终可以得到：

\[ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 \]

这就是著名的斯涅尔定律，其中 \(n_1\) 和 \(n_2\) 分别是空气和玻璃的折射率。

结论

通过上述推导，我们得到了光的折射定律公式：

\[ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 \]

这个公式不仅适用于空气和玻璃之间的折射，也适用于其他介质之间的折射现象。它为我们理解光学现象提供了重要的理论基础。